Relasi dan Fungsi
Relasi dan Fungsi
A. Relasi
Relasi dari himpunan A ke
himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A
dengan
anggota-anggota himpunan B.
Contoh :
Empat orang anak yaitu Ria, Rian,
Reni, dan Revi memilih jenis musik yang mereka sukai. Ternyata:
Ria dan Rian memilih musik pop.
Rian dan Reni memilih musik rock.
Rian, Reni, dan Revi memilih
musik jazz.
Jika A = {Ria, Rian, Reni, Revi}
dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk relasi (hubungan) antara
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi yang tepat
dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi “menyukai”.
Ria dipasangkan dengan pop,
berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan dengan pop, rock, dan jazz,
berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik pop, rock, dan jazz, Reni
dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni menyukai dua jenis musik, yaitu
musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan dengan jazz, berarti Revi
menyukai musik pjazz. Relasi terebut dapat ditunjukkan dengan jelas pada gambar
dibawah ini.
Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat
dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan
berurutan.
Contoh :
Empat orang anak yaitu Tias,
Jamal, Farid, dan Dika memilih permainan yang mereka gemari. Ternyata:
Tias, Jamal, dan Farid memilih
permainan voli.
Jamal dan Farid memilih permainan
basket.
Farid dan Dika memilih permainan
tenis.
Jika himpunan A = {Tias, Jamal,
Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat relasi gemar bermain
dari himpunan A ke himpunan B.
a. Nyatakan dengan diagram panah,
b. Nyatakan dengan diagram cartesius
c. Nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.
Jawab :
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan Pasangan Berurutan.
{(Tias, Voli), (Jamal, Voli),
(Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis), (Dika, Tenis)}
B. Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi
yang memasangkan setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain), dengan tepat satu anggota himpunan B(daerah
kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil
(range).
Contoh :
Hardi adalah anak Pak Manan,
Nanda anak Pak Udin, Indri dan Aldi anak
Pak Drajat. Jika himpunan A = {Hardi, Nanda, Indri, Aldi} dan himpunan B =
{Manan, Udin, Drajat}. Terdapat relasi anak dari himpunan A ke himpunan B,
fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Menyatakan Fungsi
Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan
berurutan
Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B =
{-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A
→ B ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian :
f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram Panah
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}
Operasi Aritmatik
Dasar operasi aritmatik adalah
PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN, sedangkan operasi selanjutnya yang dikembangkan
dari kedua operasi dasar tersebut adalah operasi PERKALIAN dan operasi
PEMBAGIAN.
Pada penjumlahan berlaku aturan
seperti di bawah ini ,
Sebagai cara penjumlahan bilangan
desimal yang Anda kenal sehari-hari, penjumlahan bilangan biner juga harus
selalu memperhatikan carry (sisa) dari hasil penjumlahan pada tempat yang lebih
rendah.
Contoh :
Dalam contoh diatas, telah
dilakukan penjumlahan 8 bit tanpa carry, sehingga hasil penjumlahnya masih
berupa 8 bit data. Untuk contoh berikutnya akan dilakukan penjumlahan 8 bityang
menghasilkan carry.
Contoh :
Hasil penjumlahan diatas menjadi
9 bit data, sehingga untuk 8 bit data, hasil penjumlahannya bukan merupakan
jumlah 8 bit data A dan B tetapi bit yang e-8 (dihitung mulai dari 0) atau yang
disebut carry juga harus diperhatikan
sebagai hasil penjumlahan.
Penjumlahan Bilangan Oktal
Proses penjumlahan bilangan oktal
sama seperti proses penjumlahan bilangan desimal. Sisa akan timbul / terjadi
jika jumlahnya telah melebihi 7 pada setiap tempat.
Contoh :
Penjumlahan Bilangan Heksadesimal
Dalam penjumlahan bilangan
heksadesimal, sisa akan terjadi jika jumlah dari setiap tempat melebihi 15.
Pengurangan Bilangan
Pada pengurangan bilangan biner
berlaku aturan seperti di bawah ini,
Pada pengurangan jika bilangan yang
dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman
(borrow) pada tempat yang lebih tinggi.
Contoh :
Pengurangan Bilangan Oktal
Pada pengurangan jika bilangan
yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan
peminjaman (borrow) pada tempat yang lebih tinggi (dengan nilai 8).
Contoh :
Pengurangan Bilangan Heksadesimal
Pada pengurangan jika bilangan
yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan
peminjaman (borrow) pada tempat yang lebih tinggi (dengan nilai 16).
Contoh :
Increment dan Decrement
Increment (bertambah) dan
Decrement (berkurang) adalah dua pengertian yang sering sekali digunakan dalam
teknik miroprosessor. Dalam matematik pengertian increment adalah Bertambah
Satu dan decrement artinya Berkurang Satu.
Seperti penjelasan diatas bahwa
increment artinya bilangan sebelumnya ditambah dengan 1.
Contoh :
Decrement Sistem Bilangan
Decrement diperoleh dengan cara
mengurangi bilangan sebelumnya dengan 1.
Contoh :
Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah
fungsi baru.
Komposisi dua fungsi f(x)f(x) dan
g(x)g(x) dinotasikan dengan simbol (f∘g)(x)(f∘g)(x) atau (g∘f)(x)(g∘f)(x).
dimana :
Contoh :
diberikan fungsi :
·
f(x)=2x+1f(x)=2x+1
·
g(x)=3x2g(x)=3x2
·
h(x)=1x+4h(x)=1x+4
1. (f∘g)(x)(f∘g)(x) = ….?
fungsi g(x)g(x) disubtitusikan ke fungsi f(x)f(x)
(f∘g)(x)(f∘g)(x)====f(g(x))f(3x2)2(3x2)+16x2+1
Fungsi Linear
1.) Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau
suatu fungsi
yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering
disebut
dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:
f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c
m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta
2). Melukis grafik fungsi linier
Langkah-langkah melukis grafik
fungsi linier
a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)
b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)
c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus
3). Gradien dan persamaan garis lurus
a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien
m:
m = y1-y2 atau m = y2-y1
x1-x2 x2-x1
b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
y-y1 = x-x1
y2-y1 x2-x1
c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1,
y1) adalah:
y = m (x – x1 ) + y1
4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)
@ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b
@ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a
@ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0
@ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki
gradient
5). Titik potong dua buah garis
Menentukan titik potong dua buah
garis lurus identik dengan menyelesaikan
penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode
eleminiasi,
metode substitusi maupun metode grafik
6). Hubungan dua buah garis
Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan
tegak lurus jika m1 x m2 = -1
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar
variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu
fungsi.
Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat
Jika digambarkan pada koordinat
Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke
atas jika a>0 dan terbuka ke bawah jika a<0.
Berikut ini langkah-langkah dalam
menggambarkan grafik/kurva nya:
Pertama, tentukan titik potong y
= f(x) = ax^2+bx+c terhadap sumbu X, yaitu nilai x saat y=0. Dengan demikian,
nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0.
Kemudian, tentukan titik potong
terhadap sumbu Y, yaitu nilai y saat x=0.
Setelah itu, tentukan sumbu
simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi
sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu x dapat dihitung dengan
menggunakan rumus:
Terakhir, tentukan titik puncak
(titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di
mana nilai y = f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya
akan berbalik arah.
Setelah mendapatkan titik-titik
di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan
titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.
Agar parabolanya terlihat lebih
halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati
oleh kurva/fungsi y=f(x).
Fungsi Rasional
Seperti bilangan rasional yang
merupakan rasio dari dua bilangan bulat, fungsi rasional adalah rasio dari dua
polinomial. Secara umum,
Fungsi Rasional
Fungsi rasional yang paling
sederhana adalah fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x², yang keduanya memiliki
pembilang konstanta dan penyebut polinomial dengan satu suku, serta kedua
fungsi tersebut memiliki domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.
Fungsi y = 1/x
Fungsi ini disebut juga sebagai
fungsi kebalikan karena setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka
akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut. Hal ini
berarti x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, demikian pula
sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat seperti di
bawah ini.
Tabel dan grafik di atas
memunculkan beberapa hal yang menarik. Pertama, grafik tersebut lolos uji garis
vertikal, artinya, setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius
memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x merupakan suatu
fungsi. Kedua, karena pembagian tidak terdefinisi ketika pembaginya nol, maka
nol tidak memiliki pasangan, yang menghasilkan jeda pada x = 0. Hal ini sesuai
dengan domain dari fungsi tersebut, yaitu semua x anggota bilangan real kecuali
0. Ketiga, fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya
berada di kuadran I sedangkan yang lainnya berada di kuadran III. Dan yang
terakhir, pada kuadran I, ketika x menuju tak hingga, nilai y menuju dan
mendekati nilai nol. Secara simbolis dapat ditulis sebagai x → ∞, y → 0. Secara
grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-x ketika x
mendekati tak hingga.
Selain itu kita juga dapat
mengamati bahwa ketika x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati
bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞.
Sebagai catatan, tanda + atau – yang terletak di atas mengindikasikan arah dari
pendekatan, yaitu dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).
Fungsi Invers
Fungsi Invers (atau fungsi
kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari
suatu fungsi. Misalnya anggap saja f sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan
B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi g dari himpunan B ke himpunan A
sedemikian, sehingga g(f(a)) = a dan f(f(b))=b untuk setiap a dalam A dan b
dalam B, maka g disebut fungsi invers dari f dan bisa ditulis sebagai f-1.
Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang
memiliki invers.Fungsi f(x) akan memiliki invers dengan syarat f(x) merupakan
fungsi bijektif.Jika fungsi f memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka
invers dari fungsi f atau ditulis f-1 memetakan himpunan B ke himpunan A.
Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan
menghasilkan identitas.
Identitas adalah suatu bilangan
yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu
bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena
apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan.Sedangkan, pada
penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan
tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah
fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas,
yaitu f(x)=x.
Daftar Pustaka
Sugijono, M. Cholid Adinawan.
1994. “Matematika SLTP Jilid 2A Kelas 2”. Jakarta : Erlangga
Nuarini, Dewi dan Wahyuni, Tri.
2007.”Matematika Konsep dan Aplikasi”.
http://www.jelajahinternet.com/2015/09/pengertian-fungsi-inver-matematikan.html
https://yos3prens.wordpress.com/2014/07/28/fungsi-rasional-dan-asimtot/
http://www.sekolahmatematika.com/fungsi-kuadrat/
http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/80-fungsi-komposisi-dan-komposisi-fungsi
Comments
Post a Comment