Makalah tentang Induksi Matematika
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam lingkup kehidupan
matematika, pembuktian suatu pernyataan hal yang mutlak yang harus dilakukan.
Suatu hal yang mustahil ketika kita memasuki dunia matematika tidak melakukan
sebuah pembuktian ketika mengemukakan suatu pernyataan.
Induksi merupakan suatu konsep
matematika yang digunakan untuk dalam membuktikan sebuah pernyataan
. Dalam matematika, konsep
induksi selama ini dalam melakukan sebuah pembuktian menggunakan 3 prinsip atau
cara dalam melakukan sebuah pembuktian,
yaitu : basis induksi, hipotesis induksi dan langkah induksi.
Selain itu dalam lingkup
Matematika ini kita dapat menemukan soal-soal yang berhubungan dengan Teori
Binomial.
Sehubungan dengan kita sering
menemukan dan mengerjakan suatu pernyataan yang berhubungan dengan matematika
maka sangat dibutuhkan kita dapat menguasai materi induksi matematika dan Teori
Binomial ini.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di
atas, pokok masalah yang akan kita kaji yaitu:
1. Apakah pengertian induksi?
2. Bagaimana langkah melakukan pembuktian
menggunakan prinsip induksi?
3. Apa
saja macam-macam model prinsip induksi ?
4. Apa pengertian Teori binomial itu ?
5. Bagaimana langkah menyelesaikan teori
binomial ?
1.3 Tujuan
Berdasarkan latar belakang dan
rumusan masalah di atas, maka tujuan dari hadirnya makalah ini yaitu:
1. Mengetahui definisi induksi matematika.
2. Mengetahui langka-langkah membuktikan
pernyataan menggunakan prinsip induksi matematika.
3. Mengetahui macam-macam prinsip dalam
induksi matematika.
4. Bisa membuktikan suatu pernyataan dengan
menggunakan induksi matematika.
5. Menggunakan metode induksi matematika
dalam menyelesaikan sebuah masalah dalam kehidupan.
6. Mengetahui definisi Teori Binomial
7. Mengetahui langkah-langkah menyelesaikan
teori Binomial
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan
suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika
digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal
statements " n Î A S(n) dengan A Ì
N dan N adalah himpunan bilangan positif
atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.
2.2 Prinsip-prinsip Induksi Matematika
2.2.1. Induksi Sederhana.
Misalkan p(n) adalah pernyataan
perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita
hanya perlu menunjukkan bahwa:
1.
p(1) benar, dan
2. Jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar,
untuk semua bilangan bulat positif n ³
1,
p Langkah 1 dinamakan basis
induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.
p Langkah induksi berisi asumsi
(andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis
induksi.
p Bila kita sudah menunjukkan
kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk
semua bilangan bulat positif n.
Contoh 1. Gunakan induksi
matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama
adalah n2.
Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu
buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah
satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu
pernyataan
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah benar (hipotesis induksi)
[catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus
memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n +
1) = (n + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita
tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] +
(2n +1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Karena langkah basis dan langkah
induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil
positif pertama adalah n2.
2.2.2. Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Misalkan p(n) adalah pernyataan
perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua
bilangan bulat n ³ n0. Untuk membuktikan
ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga
benar,
untuk semua bilangan bulat n ³
n0,
Contoh 2.
Untuk semua bilangan bulat
tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n
= 2n+1 - 1
Penyelesaian:
(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan
bulat tidak negatif pertama), kita
peroleh:
20 = 20+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 20 = 1
= 20+1 – 1
= 21 – 1
= 2 – 1
= 1
(ii) Langkah induksi. Andaikan
bahwa p(n) benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n =
2n+1 - 1
adalah benar (hipotesis induksi).
Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n +
2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1
juga benar. Ini kita tunjukkan
sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 =
(20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2
- 1
= 2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah 1 dan 2 keduanya
telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n,
terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1
2.2.3. Prinsip Induksi Kuat
Misalkan p(n) adalah pernyataan
perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua
bilangan bulat n ³ n0. Untuk membuktikan
ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n)
benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n ³ n0,.
Contoh 4.
Bilangan bulat positif disebut
prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan
dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n
(n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan
prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian:
Basis induksi. Jika n = 2, maka 2
sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian
dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.
Langkah induksi. Misalkan
pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu
atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu
menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima.
Ada dua kemungkinan nilai n + 1:
(a) Jika n + 1 sendiri bilangan prima,
maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan
prima.
(b) Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka
terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan
kata lain,
(n + 1)/ a = b atau (n + 1) = ab
yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £
n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu
atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai
perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab. Karena langkah (i) dan (ii) sudah
ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2)
dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
2.3 Pengertian Teori Binomial
Teori binomial merupakan
perpangkatan dari jumlah atau selisih dua suku tanpa mengkalikan atau
menjabarkannya , yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan oleh tanda “+” ,
atau tanda “-“ sebagai contoh x+y, 2x-5y.
2.4 DasarTeori Binomial
Untuk mengetahui binomial ada beberapa
materi yang harus dikuasai terlebih dahulu.Diantaranya :
Ø
Notasi Faktorial
Faktorial adalah hasil kali
bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiapbilangan asli n,
didefinisikan:
n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x
(n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2 n! =
1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 ×
2 ×
Contoh :
2! = 1∙2 = 2, 3! = 1∙2∙3 = 6 4! = 1∙2∙3∙4 = 24
5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120, n! = 1∙2∙3…n, (r – 1) ! = 1∙2∙3…(r –
1)
Ø
Kombinasi
Susunan dari semua atau sebagian
elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.
Kombinasi r elemendari n
elemenditulis :
nKr
Ø
Segitiga Pascal
Membahas mengenai Teori Binomial
tidak akan lepas dari segitiga pascal. Segitiga Pascal adalah suatu aturan
geometri pada pekali binomial dalam sebuah segitiga.Penemu segitiga pascal
adalah seorang ahli matematika yang bernama Blaise Pascal yang berasaldaridunia
barat.Barisan segitiga Pascal secara kebiasaannya dihitung bermula dengan
barisan kosong, adalah barisan genap.Pembinaan mudah pada segitiga dilakukan
dengan cara berikut. Di barisan sifar,
hanya tuli snomor 1.Kemudian, untuk membina unsur-unsur barisan berikutnya,
tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara terus di atas dan di
kanan untuk mencari nilai baru.Jikalau nomor di kanan atau kiri tidak wujud,
gantikan suatu kosong pada tempatnya.Contohnya, nomor pertama di barisan
pertama adalah 0 + 1 = 1, di mananomor 1 dan 3 barisan keempat.
1
1
1
1
2 1
1
3 3 1
1
4 6 4 1
1
5 10 10 5 1
1
6 15 20 15 6 1
1 7 21 35
35 21 7
1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
2.5 .Teori Binomial
2.5.1 Ekspansi
Ekspansi merupakan salah satu
penjabaran yang terdapat dalam Teori Binomial Newton.Ekspansi atau yang sering
kita sebu tpenjabaran adalah cara menguraikan soal-soal teori binomial yang
berbentuk perpangkatan dari hasil perkalian berulang. Misalnyauntuk n = 1,n =
2, n = 3, n = 4, n = 5, dengan mengkalikansetiap factor diperoleh hasi
l2orekspansi sebagai berikut :
Ciri-ciri ekspansi yang benar
untuk bilangan bulat positif
1. Banyak suku di ruas kanan adalah satu
suku lebih banyak daripada pangkatnya atau eksponennya. Hal ini memberikan
gambaran ekspansi suku.
2. Suku pertama dari adalah
dan suku terakhir adalah
3. Perhatikan hasil ekspansi pada ruas
kanan. Jika dibaca dari kiri ke kanan, eksponen dari a berkurang 1 dan eksponen
untuk b bertambah 1.
2.5.2 Koefisien Binomial
Koefisian adalah nilai atau
ketetapan, koefisien binomial merupakan nilai yang terdapatdi depan suku-suku
binom yang sudah di ekspansikan. Untuk mengetahui koefisiennya, harus
diekspansikan terlebih dahulu.Dan untuk mengekspansikannya tinggal mengkalikan
sesuai dengan eksponennya atau mengikuti aturan dalam segitiga pascal.Namun,
bukan berarti untuk mengetahui koefisiennya hanyam engikuti nilai-nilai yang
terdapat dalam segitiga pascal.Karena hal tersebut dianggap kurang efisien,
maka untuk mengetahui koefisiennya ada formula yang lebih efisien sebagai
berikut :
Xn-r . yr = . an-r . br
2.5.3 Hubungan Kombinasi dengan
Binomial
Perhatikan ilustrasi dibawah ini
:
=
Penjabaran dari merupakan
perkalian 3 faktor
=
Kemudian dipilih bagian yang
ingin dikalikan dari ketiga factor tersebut.Misalnya, untuk bagian pertama
diambil a, bagian kedua diambil a, dan bagian ketiga jug adiambil a, maka
diperoleh hasila aa. Jika diambil a pada factorkesatu dan kedua, factor ketiga
diambil b, maka akan diperoleh aab, begitu seterusnya. Sehingga kemungkinan
pemilihan baik a maupun b terpilih secara sama. Dari hasil pengkalian 3 faktor
tersebut akan diperoleh :
aaa,aab,aab,aab,abb,abb,abb,bbb =
a3,a2b, a2b, a2b,ab2, ab2 ,ab2,b3
Jika semuasuku di atas
dijumlahkan maka akan dihasilkan : a3+3a2b+3ab2+b3
Bilangan 3 yang merupakan
koefisien dari a2b muncul dari
pemilihandari 2 faktordan b dari 1 faktorsisa-nya. Hal ini biasa dilakukan
dalam atau . Cara yang sama biasa dilakukan untuk memperoleh koefisien yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari
0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau , dan seterusnya. Melalui hubungan
kombinasidengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema
binomial sebagai berikut.
atau
Sifat-sifat perluasan ( a+b )n
· Suku pertama adalah an dan suku
terahir adalah bn
· Jika kita berjalan dari suku pertama menuju suku
terahir, maka pangkat dari a turun satu-satu dan pangkat dari b naik satu-satu
· Jumlah pangkat dari a dan b pada
setiap suku sama dengan n
· Terdapat n+1 suku
· Koefisien suku pertama adalah ,
koefisien suku kedua adalah , dan seterusnya dengan = dan 0 ≤ r ≤ n
2.5.4. Menetukan Suku Pada Binom
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya
mengenai teori binomial yang merupakan perpangkatan yang terdiri dari dua suku yang dipisahkan
oleh tanda “+”, “-“. Berdasarkan pengertian tersebut kita dapat mengubah dari
binom yang bentuknya pangkat menjadi tidak berpangkat dengan cara menjabarkannya.Sehingga
yang awalnya terdiri dari dua suku menjadi lebih dari dua suku.
Adapun cara lain untuk mencari
suku ke-n tanpa menggunakan penjabaran yaitu dengan menggunakan rumus berikut :
Suku ke-(r+1) = xn-ryr, adapun
formula untuk menentutakan suku ke r
dari (a+x)n=
2.6 Soal dan pembahasan induksi matematika :
1. + 2n
adalah bilangan kelipatan 3, untuk n bil. Bulat positif.
Pembuktian :
n3 + 2n adalah kelipatan 3
Untuk setiap n bilangan bulat
positif
Jawab :
Untuk n = 1 akan diperoleh :
(ii) Pn : 13 + 2(1)
1 = 3 , kelipatan 3
Induksi : misalkan untuk n =
k asumsikan k3 + 2k = 3x
(iii)adib. Untuk n = k + 1
berlaku:
buktikan benar untuk Pn=k+1
(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k3 + 3k2 + 3 k + 1) + 2k + 2
(k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k3 + 2k) + 3 (k2 + k + 1)
Induksi
3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan : n3 + 2n adalah
kelipatan 3
Untuk setiap bilangan bulat
positif n.
2. n3 + (n+1)3 + (n+2)3 habis dibagi 9 n bil. Asli
pembuktian:
n³ + (n+1)³ + (n+2)³ habis dibagi
9 untuk n bulat positif.
Berarti n paling kecil = 1
untuk n = 1, maka
1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
<== habis dibagi 9
misalkan benar untuk n = k
maka benar bahwa
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ habis dibagi
9
hendak dibuktikan bahwa benar
untuk n= k+1
yaitu hendak dibuktikan bahwa
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ habis
dibagi 9
(k+3)³ = k³ + 3k².3 + 3k.3² + 3³
=k³ + 9k² + 27k + 27
jadi
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³
= (k+1)³ + (k+2)³ + k³ + 9k² +
27k + 27
atur ulang urutannya
= k³ + (k+1)³ + (k+2)³ + 9k² +
27k + 27
tetapi k³ + (k+1)³ + (k+2)³ habis
dibagi 9
dan masing-masing suku dari 9k² +
27k + 27
juga habis dibagi 9
Jadi terbukti bahwa (k+1)³ +
(k+2)³ + (k+3)³
habis dibagi 9.
Bukti selesai.
3. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n (n + 1). n bil. Asli
Pembuktian:
untuk n = 1
2 = 1(1+1) ,
2 = 2
untuk n = 2
2+4 = 2(2+1)
6 = 6
untuk n = k
2 + 4 + 6 + . . . .+ 2k = k (k +
1) . . . (1)
untuk n = k + 1
(2 + 4 + 6 + . . .+ 2k) + 2 (k +
1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
nilai yang dalam kurung sama dg
persamaan (1)
k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1)
(k + 1 + 1)
(k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2)
terbukti.
4. Buktikan 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ......
+ (3n - 1) untuk n bilangan asli
Jawab:
a. untuk n = 1
(3.1 - 1) = 2
b. untuk n = k
= 2
+ 5 + 8 + 11 + 14 + .... + (3k - 1)
c. untuk n = k + 1
= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + .... + (3k - 1) +
(3 (k + 1) - 1)
=
3 (k + 1) - 1
=
3k + 3 - 1
=
3k + 2 terbukti.
5. 1.2
+ 2.3 + 3.4
+ ... + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2))
/3
Pembuktian :
untuk n=1
1*2 = 1(1+1)(1+2)/3
2 = 2
untuk n = 2
1*2 + 2*3 = 2(2+1)(2+2)/3
8 = 8
untuk n = k
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k (k + 1)
= (k (k + 1) (k + 2)) /3 .........(1)
untuk n = k + 1
{1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1) }
+ (k+1) (k+1 +1) = (k+1) (k+2) (k+3) /3
nilai dalam { } sama dg persamaan
(1)
(k(k+1) (k+2)) /3 + (k+1) (k+1
+1) = (k+1) (k+2) (k+3)) /3
(k(k+1) (k+2)) /3 + 3 (k+1) (k+1
+1) /3 = (k+1) (k+2) (k+3) /3
kalikan dengan 3
(k(k+1) (k+2)) + 3 (k+1)
(k+2) = (k+1) (k+2) (k+3)
(k+3) (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2)
(k+3) terbukti
6. Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil
pertama adalah n2.
Pembuktian :
Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh
:
1 = 12
1 = 1
Induksi : misalkan untuk n =
k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) =
k2
adib. Untuk n = k + 1 berlaku :
1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) –
1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) +
(2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1
) = (k + 1)2
k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2
k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1
Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n =
(2n - 1) = n2
Untuk setiap bilangan bulat
positif n
2.7 Soal Latihan Teori Binomial
1.
Ekspansikan
Jawab:
Jikamemakaicararumit,
biassajakitamenghitungdengancaramengalikan sebanyak 6 kali. Tapi, karenarumit, kitagunakanteorema
binomial.
= . + . + . + . + . + . + .
Ingatbahwa:
= . + . + . + . + . + . + .
= + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. +
2. Tentukansuku ke-3 dariekspansi
5
Jawab :
Suku ke-3 (S3) =
= 2
= 10
=
1080
3.Tentukan Koefisien x2y3 dari
kombinasi ( x + 3y )5
Jawab :
Xn-r . yr = . an-r . br
= .12.33
= . 1 . 27
= . 27
= . 27
= 10 . 27
= 270
4. Sukuke 9 dari( +
)¹².
Sukuke 9 = )⁴
5. Tentukan jumlah koefisien dari
( -2x + 5y )6
Jawab :
( -2x + 5y )6 = -2x6 + 5 2
=
+ 5 5
= -2-60-150-800-150-60+5
=1217
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari sekian uraian di atas, maka
dapat disimpulkan bahwa Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang
dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk
mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.
Prosedur untuk menetapkan bahwa
suatu proposisi (pernyataan) Pn adalah benar untuk semua n, yang dapat
membenarkan diberikan oleh Prinsip Induksi Matematika. Langkah-langkah
penyelesaian pembuktian dalam pernyataan matematika yang memenuhi 3 buah
syarat:
Pn : prosisi/pernyataan
I.) Pn benar, untuk n = 1, n Asli n
Pn.
II.) Asumsikan Pn benar, untuk n = k,
k Asli.
III.) Dibuktikan Pn benar, untuk n = k +
1.
Teori binomial, yaitu
perpangkatan dari jumlah atau selisih dua suku tanpa mengalikan atau
menjabarkannya, yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan olehtanda “+” ,
atautanda “-“ sebagai contohx+y, 2x-5y. Adapun dasar- dasar yang harus dikuasai
untuk menguasai teori binomial diantaranya,notasi faktorial, kombinasi, dan
segitiga pascal. Teori binomial ini sangat mudah dimengerti apabila menguasai
dasar-dasarnya.
DAFTAR PUSTAKA
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical
induction
http//WWW.Wikipediateoribinomial.com/
Iskandar,Kasir,Matematika
Dasar,Erlangga,Jakarta:1987.
Kanginan,Marthen,Matematika SMA
Kelas XI, Grafindo Media Pratama, Bandung :2007.
Turmudi,Erman,Berkenalan Dengan
Teori Bilangan, Wijayakusumah, Bandung :
1993.
Wikipedia, Mathematical
induction,
Comments
Post a Comment