FUNGSI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

BAHAN AJAR FUNGSI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

A.    FUNGSI EKSPONEN

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar, yaitu fungsi yang tidak dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.

Fungsi transenden yang telah kita pelajari adalah fungsi trigonometri. Fungsi fungsi transenden yang akan kita pelajari adalah fungsi eksponen.

Dalam pembahasan fungsi eksponen kita akan melibatkan teorema-teorema berikut ini.

Teorema:

1.      Jika a, b, m, n dan p masing-masing bilangan real, maka:

a.       x

b.      :  ,

c.      

d.      )

e.      

2.      a. Jika dan adalah bilangan real positif, maka

b. Jika dan  bilangan real positif, maka

                    3. a. Jika  dan   adalah bilangan real, sehingga , maka x

b. Jika dan  bilangan real, sehingga  maka

Definisi:

      Fungsi eksponen dengan bilangan dasar ( bilangan pokok atau basis )  mempunyai bentuk umum:

       atau

Dengan:

1.      dinamakan bilangan dasar (pokok atau basis) dengan ketentuan:

Bila fungsi eksponen menjadi . Karena itu, dalam definisi tersebut disyaratkan

2.      x dinamakan variabel (peubah) bebas dan himpunan dari variabel x dinamakan daerah asal ( daerah definisi / domain/ wilayah) fungsi ditulis

3.      y dinamakan variabel (peubah) tak bebas dan himpunan dari semua variabel y dinamakan daerah hasil (range daerah nilai/ jelajah), fungsi

4.      dinamakan aturan atau rumus untuk fungsi eksponen baku (standar).

1.      Transformasi pada Fungsi Eksponen

Diberikan fungsi eksponen maka grafik dari:

1.       menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kanan.

2.       menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kiri.

3.       menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke atas.

4.       menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke bawah.

5.       menggambarkan perbesaran atau bentangan ( stertching dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Y

6.       menggambarkan perbesaran penciutan (shrinkking dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Y

7.      menggambarkan refleksi terhadap sumbu X

8.      menggambarkan refleksi terhadap sumbu Y

9.       menggambarkan perbesaran penciutan (shrinking dilation) sebesar faktor  sepanjang sumbu X

10.   menggambarkan perbesaran rengangan atau bentangan (stretching dilation) sebesar faktor  sepanjang sumbu X

2.      Menentukan Persamaan Fungsi Eksponen

Seringkali kita menjumpai grafik fungsi eksponen dengan beberapa keterangan seperti beberapa titik atau titik dan asimtot datar. Untuk menentukan persamaan grafik fungsi eksponen ini. Biasanya melibatkan sistem persamaan yang dipecahkan secara simultan.

B.     PERSAMAAN EKSPONEN

Definisi:

      Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel.

1.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema: Jika , dengan

2.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema: Jika , dengan

3.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema:Jika , dengan dengan

4.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema:Jika, dengan

5.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema:

Jika: , maka kemungkinannya adalah:

1.       asalkan  dan  keduanya positif

2.     

3.      , asalkan  dan  keduanya ganjil atau keduanya genap

4.         asalkan

6.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema:

Jika , maka kemungkinannya adalah:

1.     

2.     

3.      ,

Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap.

7.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema:

Jika , dengan  maka

8.      Persamaan Eksponen Berbentuk

Teorema:

Jika , dengan

9.      Persamaan Eksponen Berbentuk C

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk C  adalah sebagai berikut:

Misalkan  maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan:

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di dapat dua akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan , sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta.

C.    SISTEM PERSAMAAN EKSPONEN

      Sekelompok persamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan dinamakan sistem persamaan eksponen.

D.    PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Definisi:

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.

Teorema:

1.      Jika

2.      Jika

3.      Jika 

4.      Jika 

Pertidaksamaan eksponen berbentuk C  (tanda ketidaksamaan “<” dapat di ganti dengan” diselesaikan sebagai berikut:

Misalkan , maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan

Dengan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dalam y, maka kita akan mendapatkan maksimal dua pertidaksamaan dan minimal tidak ada.

Subtitusikan  ke pertidaksamaan semula, sehingga jika terdapat dua pertidaksamaan maka penyelesaiannya adalah irisan dari penyelesaian setiap pertidaksamaan itu.

E.     SISTEM PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Sekelompok pertidaksamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan(serentak) dinamakan sistem pertidaksamaan eksponen.

F.     Contoh soal dan pembahasannya

Persamaan eksponen

Persamaan eksponen berbentuk

1.      Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:

a.      

Jawab:

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{4}

b.     

Jawab:

            (

           

                    

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{

c.      

Jawab:

           

            -5

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{1,5}

2.      Persamaan eksponen berbentuk

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:

a.      

Jawab:

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{5}

b.     

Jawab:

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaian adalah {-2,6}

c.       (

Jawab: (

                       

                       

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{5,-2}

3.      Persamaan eksponen berbentuk

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:

a.      

Jawab:

           

           

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-17,6}

b.     

Jawab:

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:{3}

4.      Persamaan eksponen berbentuk

Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:

a.      

Jawab:

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {3}

b.     

Jawab:

   

(

     

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{1}

c.      

Jawab:

     

     

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-7,6}

5.      Persamaan eksponen berbentuk

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:

a.       (

Jawab: Persamaan (sepadan dengan persamaan eksponen berbentuk, maka:

Himpunan penyelesaiannya ditentukan oleh berbagai kemungkinan berikut:

1.     

Nilai ini harus disubtitusikan ke

Karena untuk

2.     

3.     

Nilai harus disumtitusikan ke

Karena untuk mak

Adalah penyelesaiannya.

Nilai-nilai  harus disubtitusikan ke

Karena untuk  maka

Sehingga  adalah penyelesaiannya.

Dari keempat kemungkinan tersebut diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah {-4,3,9,11}

1.      Persamaan eksponen berbentuk {

a.       Carilah himpunan penyelesaian dari (

Jawab: Persamaan  sepadan dengan persamaan eksponen berbentuk  maka diperoleh

Himpunan penyelesaiannya ditentukan oleh berbagai kemungkinan berikut ini.\

1.     

 

Nilai x ini harus disubtitusikan ke

Karena untuk , maka

maka adlah penyelesaiannya.

2.     

3.     

Nilai  harus disubtitusikan ke  maka diperoleh

Karena untuk  maka genap. Sehingga adalah penyelesaiannya.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-

2.      Persamaan eksponen berbentuk

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:

a.      

Jawab:

           

            3

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

3.      Persamaan eksponen berbentuk 

Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini:

. a. 

Jawab:

           

           

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {

4.      Persamaan eksponen berbentuk +{

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:

a.      

Jawab:

            Misalkan  maka kita memperoleh

           

            (

           

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}

5.      Pertidaksamaan Eksponen

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.

a.      

Jawab:

           

           

           

           

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {